Libro: Una nueva manera de ver el mundo. La geometría fractal.

Título: Una nueva manera de ver el mundo. La geometría fractal.

Autora: María Isabel Binimelis.

Editorial: RBA

Tras la lectura de El Cisne Negro, busqué un libro que me permitiera ahondar más en algunos de los temas tratados por Taleb. Uno de los que me interesaban era Henri Poincaré, el otro los fractales. Y este libro sobre fractales parecía bastante ameno e introductorio, así que lo cogí.

Una de las cosas que pensé a menudo durante su lectura es que menos mal que estudié álgebra en la carrera, porque este libro no está indicado para quien no haya tenido una formación mínima matemática. No quiero decir que se necesiten grandes conocimientos para leerlo, pero sí que ayuda tener nociones o recuerdos sobre conceptos como los números reales, los imaginarios, curvas, geometría, topología…

Afortunadamente para mí, que tengo la mayoría de mis matemáticas muy oxidadas, Binimelis es una fantástica didacta, introduciendo con facilidad y de forma amigable conceptos que en su momento (Bachiller, COU y carrera) recuerdo como mucho menos interesantes. Supongo que el tiempo, la disposición y la experiencia ayudan a ver las cosas de forma diferente.

Gran parte del libro se dedica a introducir los conceptos matemáticos necesarios para hablar de los fractales, su historia y propiedades. No veremos una gran cantidad de dibujos de colores o historia (los hay en la medida en que mejoran la comprensión del texto y fórmulas), sino que iremos escalando conceptos matemáticos de forma gradual, para vislumbrar (hasta donde es posible dado lo introductorio y breve del libro) qué un fractal, para qué sirve, y donde podemos buscarlo o cómo podemos crearlo. En mi opinión toda una hazaña para tan pocas páginas escritas de forma tan sencilla.

Al finalizar el libro, dan ganas de coger otro más sobre el tema o la autora, y eso hay que agradecérselo enteramente a la calidad didáctica de María Isabel Binimelis, que por lo que indica su biografía, es profesora municipal de piano de profesión, matemática por formación y fotógrafa de paisajes por vocación hacia los fractales. Un perfil muy curioso. Probablemente busque más libros de esta mujer, y lamento que no haya más profesores que expliquen así las cosas, aunque creo que yo no puedo quejarme mucho en ese aspecto.

Creo que este libro es muy recomendable para quien recuerde con cariño las matemáticas, para quien quiera una comprensión mayor del mundo (por las aplicaciones y apariciones de los fractales en multitud de ámbitos) y para quien simplemente quiera un tema para reflexionar sobre cualquier escenario complejo. Al leerlo, adquieres, como dice el título del libro, una nueva manera de ver el mundo.

Sin más preámbulos, las citas acostumbradas:

Es difícil dar una definición general de fractal porque muchas de ellas no se pueden aplicar a todas las familias de fractales existentes. Tal vez la mejor forma de describirlas consista en señalar lo que tienen en común los procesos matemáticos que las generan. Al fin y al cabo lo más interesante de los fractales y la raíz de sus propiedades matemáticas más profundas se encuentra en la estructura característica de los procesos que los originan.
Así, un fractal viene a ser el producto final que surge a partir de la iteración (es decir, la repetición) infinita de un proceso geométrico bien definido. [Atributos de un fractal:] es rugoso, autosimilar (las partes se parecen al total), se construye con un proceso iterativo, es dependiente de las condiciones iniciales y es complejo, si bien se describe con un algoritmo simple.

La geometría clásica constituyó una primera aproximación a la estructura de los objetos físicos; la geometría diferencial, de hecho, ofrece una excelente aproximación a tales objetos. Por ejemplo, un observador terrestre podría admitir que la esfera es un modelo adecuado para la Luna. Sin embargo, para un astronauta que se encuentra sobre ella y puede observar los diferentes cráteres, este no sería un modelo válido. Así, modelizar las complicadas e irregulares estructuras que aparecen en nuestro entorno con las técnicas tradicionales resulta muy complicado. La geometría fractal ocupa en cierta medida este vacío y puede usarse para diseñar fielmente desde la intrincada silueta de una hoja hasta el crecimiento del árbol que la sustenta.

En la geometría fractal, el proceso responsable de un intrincado y complejo fenómeno puede ser sorprendentemente simple. Y el argumento recíproco también es cierto: la simplicidad de un proceso no debe llevarnos a subestimar sus posibles consecuencias, que a menudo pueden ser muy complejas.
La esencia del mensaje de Mandelbrot es que muchas estructuras naturales (montañas, nubes, costas, capilares) que aparentan tener una complejidad extraordinaria en realidad presentan una misma regularidad geométrica: su invarianza a diferentes escalas.

[Hablando Richardson y el problema de medición de la frontera, cuando dos naciones limítrofes dan cantidades diferentes para su misma frontera, como España-Portugal con 987 km y 1214 km respectivamente] Su explicación tan obvia como extraordinaria, fue que la unidad de medida usada por un país podía ser mucho más pequeña que la empleada por el otro. [Luego detalla el uso de un compás agrimensor para medir la costa con ajustes diferentes] Apelando al sentido común, se podría suponer que estos valores convergen hacia un número finito que representa la longitud verdadera de la costa o la frontera. Sin embargo Richardson, demostró que las medidas de la longitud iban creciendo sin límite a medida que la unidad del compás se hacía más pequeña y que la escala del mapa era mayor. Este hecho extraordinario es conocido como el efecto Richardson.

En 1958, Mandelbrot entró a trabajar en los laboratorios de IBM para hacer un análisis del ruido y las perturbaciones eléctricas, y halló un patrón escondido en el comportamiento del ruido: grupos de fluctuaciones que aparecían repetidas en diferentes escalas de observación, fenómeno que bautizó como “jerarquía de fluctuaciones en todas las escalas”. Los patrones que se repetían no eran en rigor exactamente iguales, sino estadísticamente similares. Aun así, esas fluctuaciones no podían ser descritas por la matemática estadística conocida. En vez de adentrarse en el fenómeno empezó a pensar en qué otros sistemas podría encontrar patrones similares que se comportaran de igual manera y tampoco pudieran ser descritos con exactitud por la matemática estadística. La resolución de estas cuestiones le llevó a plantear los métodos de observación basados en la autosimilitud, y de ahí al descubrimiento de los fractales. Mandelbrot señaló que dichos métodos constituían una herramienta muy potente para el estudio de fenómenos que dependen del azar en ámbitos tan diversos como la geostática, la economía, la física o la medicina.


Esta curva también recibe el nombre de curva de blancmange, debido a su semejanza con un postre del mismo nombre (una especie de pudin). Si este proceso se realiza en tres dimensiones y se usan asimismo desplazamientos aleatorios, el resultado son imágenes artificiales de paisajes naturales. Con este procedimiento se realizaron por ejemplo, los paisajes alienígenas de grandes superproducciones como Star Trek II La ira de Khan (1982), así como el exterior de la célebre estación de combate Estrella de la Muerte, tal como puede verse en el filme El retorno del Jedi (1983).

Existen unas nuevas lentes difractivas, conocidas como “lentes del diablo”, que son capaces de incrementar la profundidad de foco del usuario y reducir la aberración cromática. […] El motivo de tan llamativa denominación es consecuencia del perfil de estas lentes, que se ha diseñado según una estructura [fractal] conocida en matemáticas como “escalera del diablo”.

La naturaleza no es fractal […] Cuando decimos que una frontera, un árbol, o la red venosa son fractales, en realidad queremos expresar que existen modelos fractales que los aproximan con bastante exactitud. En el mundo real no existen fractales, como tampoco hay rectas ni circunferencias. Sin embargo, por el hecho mismo de aproximar la realidad, los modelos matemáticos nos ayudan a entenderla mejor. Del mismo modo que la teoría de la relatividad aproxima la órbita de Mercurio mejor de lo que lo hace la mecánica newtoniana, el modelo fractal aproxima mejor la forma de algunos objetos que la geometría euclidiana, y tal vez también aproxima mejor la dinámica de los procesos reales.

[Hablando de sistemas deterministas] El término determinista significa que pueden hacerse predicciones acerca de la evolución futura del sistema. Uno de los resultados más sorprendentes de la física de los últimos años es la constatación de que en muchos sistemas dinámicos deterministas resulta imposible toda predicción detallada para intervalos grandes de tiempo, ya que el grado de error aumenta de forma considerable en cada iteración. A estos sistemas dinámicos deterministas que son muy sensibles a variaciones relativamente pequeñas se les llama caóticos. Esta extrema sensibilidad significa que dos posibles trayectorias que en el instante inicial están muy próximas pueden separarse enormemente al cabo de un tiempo. […] La mecánica cuántica afirma que las mediciones iniciales no pueden ser totalmente precisas, y el caos asegura que las imprecisiones darán al traste, y muy pronto, con toda capacidad de predicción.

Los fractales y el caos son ramas relativamente nuevas de las matemáticas y no hubieran podido ser exploradas sin los potentes ordenadores de hoy día, y no cabe duda de que ya han mejorado la precisión en la descripción o la clasificación de lo “aleatorio”. Pero el descubrimiento, revolucionario y sorprendente, de que algunos sistemas deterministas muy simples pueden generar aleatoriedad plantea una aparente paradoja: el caos es determinista. Generado por reglas fijas que no encierran en sí mismas ningún elemento aleatorio, el azar, sin embargo, se produce. El descubrimiento de la ubicuidad del caos, puede considerarse la tercera gran revolución de la física del siglo XX, junto con la relatividad y la mecánica cuántica.

 

PD: Si alguien quiere ampliar información sobre estructuras fractales y caos ahí van algunos elementos a buscar: Atractor de Lorenz, triángulo de Sierpinski, esponja de Menger, escalera del diablo, helecho de Barnsley, bronquios, polvo de Cantor, Mandelbrot, Julia.

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