Libro: Una nueva manera de ver el mundo. La geometría fractal.

Título: Una nueva manera de ver el mundo. La geometría fractal.

Autora: María Isabel Binimelis.

Editorial: RBA

Tras la lectura de El Cisne Negro, busqué un libro que me permitiera ahondar más en algunos de los temas tratados por Taleb. Uno de los que me interesaban era Henri Poincaré, el otro los fractales. Y este libro sobre fractales parecía bastante ameno e introductorio, así que lo cogí.

Una de las cosas que pensé a menudo durante su lectura es que menos mal que estudié álgebra en la carrera, porque este libro no está indicado para quien no haya tenido una formación mínima matemática. No quiero decir que se necesiten grandes conocimientos para leerlo, pero sí que ayuda tener nociones o recuerdos sobre conceptos como los números reales, los imaginarios, curvas, geometría, topología…

Afortunadamente para mí, que tengo la mayoría de mis matemáticas muy oxidadas, Binimelis es una fantástica didacta, introduciendo con facilidad y de forma amigable conceptos que en su momento (Bachiller, COU y carrera) recuerdo como mucho menos interesantes. Supongo que el tiempo, la disposición y la experiencia ayudan a ver las cosas de forma diferente.

Gran parte del libro se dedica a introducir los conceptos matemáticos necesarios para hablar de los fractales, su historia y propiedades. No veremos una gran cantidad de dibujos de colores o historia (los hay en la medida en que mejoran la comprensión del texto y fórmulas), sino que iremos escalando conceptos matemáticos de forma gradual, para vislumbrar (hasta donde es posible dado lo introductorio y breve del libro) qué un fractal, para qué sirve, y donde podemos buscarlo o cómo podemos crearlo. En mi opinión toda una hazaña para tan pocas páginas escritas de forma tan sencilla.

Al finalizar el libro, dan ganas de coger otro más sobre el tema o la autora, y eso hay que agradecérselo enteramente a la calidad didáctica de María Isabel Binimelis, que por lo que indica su biografía, es profesora municipal de piano de profesión, matemática por formación y fotógrafa de paisajes por vocación hacia los fractales. Un perfil muy curioso. Probablemente busque más libros de esta mujer, y lamento que no haya más profesores que expliquen así las cosas, aunque creo que yo no puedo quejarme mucho en ese aspecto.

Creo que este libro es muy recomendable para quien recuerde con cariño las matemáticas, para quien quiera una comprensión mayor del mundo (por las aplicaciones y apariciones de los fractales en multitud de ámbitos) y para quien simplemente quiera un tema para reflexionar sobre cualquier escenario complejo. Al leerlo, adquieres, como dice el título del libro, una nueva manera de ver el mundo.

Sin más preámbulos, las citas acostumbradas:

Es difícil dar una definición general de fractal porque muchas de ellas no se pueden aplicar a todas las familias de fractales existentes. Tal vez la mejor forma de describirlas consista en señalar lo que tienen en común los procesos matemáticos que las generan. Al fin y al cabo lo más interesante de los fractales y la raíz de sus propiedades matemáticas más profundas se encuentra en la estructura característica de los procesos que los originan.
Así, un fractal viene a ser el producto final que surge a partir de la iteración (es decir, la repetición) infinita de un proceso geométrico bien definido. [Atributos de un fractal:] es rugoso, autosimilar (las partes se parecen al total), se construye con un proceso iterativo, es dependiente de las condiciones iniciales y es complejo, si bien se describe con un algoritmo simple.

La geometría clásica constituyó una primera aproximación a la estructura de los objetos físicos; la geometría diferencial, de hecho, ofrece una excelente aproximación a tales objetos. Por ejemplo, un observador terrestre podría admitir que la esfera es un modelo adecuado para la Luna. Sin embargo, para un astronauta que se encuentra sobre ella y puede observar los diferentes cráteres, este no sería un modelo válido. Así, modelizar las complicadas e irregulares estructuras que aparecen en nuestro entorno con las técnicas tradicionales resulta muy complicado. La geometría fractal ocupa en cierta medida este vacío y puede usarse para diseñar fielmente desde la intrincada silueta de una hoja hasta el crecimiento del árbol que la sustenta.

En la geometría fractal, el proceso responsable de un intrincado y complejo fenómeno puede ser sorprendentemente simple. Y el argumento recíproco también es cierto: la simplicidad de un proceso no debe llevarnos a subestimar sus posibles consecuencias, que a menudo pueden ser muy complejas.
La esencia del mensaje de Mandelbrot es que muchas estructuras naturales (montañas, nubes, costas, capilares) que aparentan tener una complejidad extraordinaria en realidad presentan una misma regularidad geométrica: su invarianza a diferentes escalas.

[Hablando Richardson y el problema de medición de la frontera, cuando dos naciones limítrofes dan cantidades diferentes para su misma frontera, como España-Portugal con 987 km y 1214 km respectivamente] Su explicación tan obvia como extraordinaria, fue que la unidad de medida usada por un país podía ser mucho más pequeña que la empleada por el otro. [Luego detalla el uso de un compás agrimensor para medir la costa con ajustes diferentes] Apelando al sentido común, se podría suponer que estos valores convergen hacia un número finito que representa la longitud verdadera de la costa o la frontera. Sin embargo Richardson, demostró que las medidas de la longitud iban creciendo sin límite a medida que la unidad del compás se hacía más pequeña y que la escala del mapa era mayor. Este hecho extraordinario es conocido como el efecto Richardson.

En 1958, Mandelbrot entró a trabajar en los laboratorios de IBM para hacer un análisis del ruido y las perturbaciones eléctricas, y halló un patrón escondido en el comportamiento del ruido: grupos de fluctuaciones que aparecían repetidas en diferentes escalas de observación, fenómeno que bautizó como “jerarquía de fluctuaciones en todas las escalas”. Los patrones que se repetían no eran en rigor exactamente iguales, sino estadísticamente similares. Aun así, esas fluctuaciones no podían ser descritas por la matemática estadística conocida. En vez de adentrarse en el fenómeno empezó a pensar en qué otros sistemas podría encontrar patrones similares que se comportaran de igual manera y tampoco pudieran ser descritos con exactitud por la matemática estadística. La resolución de estas cuestiones le llevó a plantear los métodos de observación basados en la autosimilitud, y de ahí al descubrimiento de los fractales. Mandelbrot señaló que dichos métodos constituían una herramienta muy potente para el estudio de fenómenos que dependen del azar en ámbitos tan diversos como la geostática, la economía, la física o la medicina.


Esta curva también recibe el nombre de curva de blancmange, debido a su semejanza con un postre del mismo nombre (una especie de pudin). Si este proceso se realiza en tres dimensiones y se usan asimismo desplazamientos aleatorios, el resultado son imágenes artificiales de paisajes naturales. Con este procedimiento se realizaron por ejemplo, los paisajes alienígenas de grandes superproducciones como Star Trek II La ira de Khan (1982), así como el exterior de la célebre estación de combate Estrella de la Muerte, tal como puede verse en el filme El retorno del Jedi (1983).

Existen unas nuevas lentes difractivas, conocidas como “lentes del diablo”, que son capaces de incrementar la profundidad de foco del usuario y reducir la aberración cromática. […] El motivo de tan llamativa denominación es consecuencia del perfil de estas lentes, que se ha diseñado según una estructura [fractal] conocida en matemáticas como “escalera del diablo”.

La naturaleza no es fractal […] Cuando decimos que una frontera, un árbol, o la red venosa son fractales, en realidad queremos expresar que existen modelos fractales que los aproximan con bastante exactitud. En el mundo real no existen fractales, como tampoco hay rectas ni circunferencias. Sin embargo, por el hecho mismo de aproximar la realidad, los modelos matemáticos nos ayudan a entenderla mejor. Del mismo modo que la teoría de la relatividad aproxima la órbita de Mercurio mejor de lo que lo hace la mecánica newtoniana, el modelo fractal aproxima mejor la forma de algunos objetos que la geometría euclidiana, y tal vez también aproxima mejor la dinámica de los procesos reales.

[Hablando de sistemas deterministas] El término determinista significa que pueden hacerse predicciones acerca de la evolución futura del sistema. Uno de los resultados más sorprendentes de la física de los últimos años es la constatación de que en muchos sistemas dinámicos deterministas resulta imposible toda predicción detallada para intervalos grandes de tiempo, ya que el grado de error aumenta de forma considerable en cada iteración. A estos sistemas dinámicos deterministas que son muy sensibles a variaciones relativamente pequeñas se les llama caóticos. Esta extrema sensibilidad significa que dos posibles trayectorias que en el instante inicial están muy próximas pueden separarse enormemente al cabo de un tiempo. […] La mecánica cuántica afirma que las mediciones iniciales no pueden ser totalmente precisas, y el caos asegura que las imprecisiones darán al traste, y muy pronto, con toda capacidad de predicción.

Los fractales y el caos son ramas relativamente nuevas de las matemáticas y no hubieran podido ser exploradas sin los potentes ordenadores de hoy día, y no cabe duda de que ya han mejorado la precisión en la descripción o la clasificación de lo “aleatorio”. Pero el descubrimiento, revolucionario y sorprendente, de que algunos sistemas deterministas muy simples pueden generar aleatoriedad plantea una aparente paradoja: el caos es determinista. Generado por reglas fijas que no encierran en sí mismas ningún elemento aleatorio, el azar, sin embargo, se produce. El descubrimiento de la ubicuidad del caos, puede considerarse la tercera gran revolución de la física del siglo XX, junto con la relatividad y la mecánica cuántica.

 

PD: Si alguien quiere ampliar información sobre estructuras fractales y caos ahí van algunos elementos a buscar: Atractor de Lorenz, triángulo de Sierpinski, esponja de Menger, escalera del diablo, helecho de Barnsley, bronquios, polvo de Cantor, Mandelbrot, Julia.

Libro: El cisne negro

Título: El cisne negro

Autor: Nassim Taleb

Editorial: Paidos

Este libro me ha recordado a un cocido. El libanés Nassim empieza a echar un montón de elementos variados a la olla, cosas sin relación evidente entre sí: ciencia, historia, matemáticas, negocios, bolsa, guerra, datos biográficos… y durante las primeras 140 páginas no sabes muy bien qué va a salir de ahí, pero luego empieza a oler bien y finalmente acabas bastante satisfecho con el homenaje que te has dado y pensando en repetir. Supongo que por eso mis siguientes lecturas han sido sobre fractales y Poincaré.

¿De qué va el libro en realidad? Pues a riesgo de parecer un tipo aún más raro de lo que ya parezco, diría que se trata de una especie de versión moderna y racional del Eclesiastés 9:11:

“Además, yo vi otra cosa bajo el sol: 
la carrera no la gana el más veloz,
ni el más fuerte triunfa en el combate;
el pan no pertenece al más sabio,
ni la riqueza al más inteligente,
ni es favorecido el más capaz,
porque en todo interviene el tiempo y el azar.”

Durante la considerable pero amena extensión del libro, Taleb va aportando datos y puntos de vista sobre la realidad del mundo, para tratar de convencernos de que no vivimos en un mundo presidido por la campana de Gauss, por la normalidad, lo predecible… sino que vivimos en un mundo de naturaleza aleatoria, de algún modo fractal, un mundo de extremos no predecibles, donde intentar calcular el futuro es incluso arriesgado.

Lo cierto es que dada masiva variedad de temas que toca el libro, no voy ni a intentar dar una explicación mayor sobre el mismo. Para eso se necesita el propio libro. Pero sí quiero recomendar su lectura a aquellos a quienes alguna vez les hayan gustado las matemáticas, la estadística o a quienes estén interesados profesional o personalmente en las predicciones o estimaciones. Yo mismo, como desarrollador de software, creo que existen paralelismos entre las ideas del libro y el desarrollo de software y tecnológico en general, y quizá otros profesionales encuentren ideas útiles para sus propias tareas entre sus páginas.

Sin más preámbulo, las citas acostumbradas.

Dado que he vivido en gran medida privado de información [en referencia a periódicos y televisión con motivo de la guerra en su Líbano natal], a menudo me ha parecido que habito en un planeta distinto del de mis iguales, lo cual a veces puede ser extremadamente doloroso. Es como si ellos tuvieran un virus que controla sus cerebros y que les impide ver cómo avanzan las cosas: el Cisne Negro se halla cerca.
La forma de evitar los males de la falacia narrativa es favorecer la experimentación sobre la narración, la experiencia sobre la historia y el conocimiento clínico sobre las teorías.

[Acerca del problema de compararse con el prójimo y de las metas a corto y largo plazo, y sobre la necesidad de convivir con iguales intelectualmente] Trabajas en un proyecto que no produce resultados inmediatos ni sistemáticos; en cambio, la gente de tu alrededor trabaja en cosas de las que sí obtienen resultados. Tienes problemas. Este es el sino de los científicos, los artistas y los investigadores que viven perdidos en la sociedad, en vez de hacerlo en una comunidad aislada o en una colonia de artistas.

Cuando intentamos recoger información sobre el mundo que nos rodea, suele ser la biología la que nos dirige, y nuestra atención fluye sin esfuerzo hacia lo sensacional, no tanto a lo relevante como a lo sensacional. De un modo u otro, el sistema de orientación se ha equivocado en el proceso de nuestra coevolución con nuestro hábitat: fue trasplantado a un mundo en el que lo relevante suele ser aburrido, no sensacional.
Además, pensamos que si, pongamos por caso, dos variables están unidas por un vínculo causal, entonces un input sistemático en una de ellas siempre debería producir un resultado en la otra. Nuestro aparato emocional está diseñado para la causalidad lineal.

[Acerca del sesgo a la hora de relacionar el carácter y vida de las personas y su éxito] La propia idea de biografía se asienta en la adscripción arbitraria de una relación causal entre unos rasgos especificados y los consiguientes sucesos. Ahora consideremos el cementerio. La tumba de los fracasados estará llena de personas que compartieron los siguientes rasgos: coraje, saber correr riesgos, optimismo, etc.; justo los mismos rasgos que identifican a la población de millonarios. Puede haber algunas diferencias en las destrezas, pero lo que realmente separa a unos de otros es, en su mayor parte, un único factor: la suerte. Pura suerte.

[Sobre la estimación de plazos, complejidad y esfuerzo para realizar proyectos]En una prueba representativa, se dividió un grupo en dos partes, los optimistas y los pesimistas. Los alumnos optimistas prometieron terminar su trabajo en 26 días; los pesimistas, en 47. El tiempo medio de conclusión real resultó ser de 56 días. […] Con proyectos que sean muy novedosos, como una invasión militar, una guerra generalizada o algo completamente nuevo, los errores se disparan. De hecho, cuanto más rutinaria sea la tarea, mejor aprendemos a predecir. Pero en nuestro entorno moderno siempre hay algo que no es rutinario. […] El problema de la planificación existe incluso cuando no hay incentivo para subestimar la duración o los costes de la tarea.

La teoría de Popper se refiere a las limitaciones en la previsión de los acontecimientos históricos y a la necesidad de rebajar disciplinas “blandas” como la historia y la ciencia social a un nivel levemente por encima de la estética y el entretenimiento, como el coleccionismo de mariposas o monedas. […] La tesis central de Popper es que, para predecir los sucesos históricos, es necesario predecir la innovación tecnológica, algo en sí mismo fundamentalmente imposible.

[Hablando acertadamente del tema en 2006 antes de la crisis oficial comenzada en 2008] Casi todos los bancos están hoy interrelacionados. De manera que la ecología financiera se está hinchando hasta formar bancos gigantescos, incestuosos y burocráticos (a menudo gaussianizados en sus cálculos de riesgo: cuando cae uno, caen todos.) Al parecer, la mayor concentración entre los bancos surte el efecto de hacer menos probables las crisis financieras, pero cuando éstas se producen, son de escalas más global y nos golpean con mucha más fuerza. […] Nos iría mucho mejor si hubiera una ecología distinta, donde las instituciones financieras quebraran de vez en cuando y enseguida fueran sustituidas por otras nuevas.

Uno de los aspectos que peor se entiende de la campana de Gauss es su fragilidad y vulnerabilidad en la estimación de los sucesos cola [en los extremos de la campana]. Las probabilidades de un movimiento de sigma 4 son el doble de las de un sigma 4,15. Las probabilidades de uno de sigma 20 son un billón de veces superiores a los de uno de sigma 21. Esto significa que un pequeño error en la medición de sigma llevará a una subestimación masiva de la probabilidad. Sobre algunos sucesos podemos errar un billón de veces.

 

 

 

 

 

Libro: Sociedad y cultura en la antigua Mesopotamia

Título: Sociedad y cultura en la antigua Mesopotamia

Autor: Josef Klíma

Editorial: Akal Universitaria

Este libro me lo prestó uno de los colegas con los que hablo de cosas raras tales como: el fin de la civilización, armamento azteca o desarrollo de software. Así que me lo prestó sabiendo que me iba a gustar. Y en efecto, el texto me ha resultado muy interesante a pesar de ser una lectura… antigua pues fue editado en 1960. Afortunadamente para los poseedores de este libro (aunque desafortunadamente para los historiadores) no parece haberse avanzado mucho más en esta rama del saber, por lo que al leerlo no tienes esa sensación de desactualización como sucede al leer Cosmos, de Carl Sagan.

Cómo decía, se trata de un texto que al parecer aún se usa en el ámbito académico, y como tal tiene un carácter recopilatorio e introductorio. El hecho de que haya envejecido bien, supongo que se debe a las dictaduras y las guerras que no son buenas para la arqueología en Oriente Medio. Además, no debe ser fácil estudiar culturas muertas con 6000 años de antigüedad. Sin embargo, a pesar de del tema académico y de la edad del texto, este no se hace pesado en ningún momento.

Como en realidad no hay ideas centrales en el libro, sino un montón de detalles sobre diversas culturas, me temo que esta vez no podré contar nada que haga justicia al contenido, por lo que me centraré en comentar una sola idea general que me ha resultado curiosa y dejaré los detalles al intrépido lector que se haga con una copia.

La idea central, al menos en lo que a mí respecta, es que no hemos cambiado nada a nivel social en los últimos 6000 años. Los únicos avances que hemos tenido son tecnológicos y cosméticos, pese a los cuales seguimos siendo la misma sociedad de agricultores y castas de la antigua franja mesopotámica.

Tenemos la misma estructura jerárquica y legal, los mismos juegos de poder, intereses, grandezas y miserias que vemos a día de hoy. Solo cambia el que ahora usamos acero en vez de adobe, tablets en lugar de tablillas de arcilla y rascacielos en lugar de zigurats. Así mismo nuestra medicina es mejor, nuestros transportes y comunicaciones, más rápidos, etcétera: puro avance tecnológico. Quizá también hayamos cambiado algo con el cambio de escala simplemente para ajustar a los agricultores en un mundo más grande (miles de millones de personas), pero no me atrevería a asegurarlo. Sea como fuere, me parece asombroso poder ver con tanta claridad las similitudes entre la Mesopotamia del 4000 a.C. y la España o Europa del siglo XXI y anteriores.

Para terminar, incluyo los habituales pasajes que me han resultado curiosos y que quizá atraigan la atención de futuros lectores de la obra.

[Hablando de jerarquías y títulos] otros de los títulos eran “ensi” y “lugal”. El primero significa “el señor que coloca la primera piedra” (de un templo u otro edificio público [cual político inaugurando obras de AVEs y hospitales]). Este título se transcribe también como “ensik/g” y T. Jacobsen lo ha traducido por “manager of the arable land” [terrateniente cual Duquesa de Alba]. “Lugal” significa “el hombre grande”. En algunas ciudades sumerias se utilizaba el título de “ensi”, en otras el de “lugal”. Está atestiguado el empleo simultáneo de ambos títulos en algunas ciudades. […] A los dioses sumerios se les da siempre el título de “lugal”. [Queda claro que el que manda es el que tiene tierras, no el que pone piedras]

[Acerca de terrenos “públicos”, pertenecientes al rey o templo, cuyo aprovechamiento delegaban a cambio de una cantidad] A la cabeza de estas unidades se encontraba el “administrador” (shaknu), que era el responsable de las entregas regulares obligatorias para las arcas de palacio. Algunas de las familias subarrendaron a su vez las “granjas” a “empresarios”, que entregaban directamente al soberano las correspondientes contribuciones. Con el curso del tiempo, hubo personas con especial poder económico que concentraron en sus manos muchas de estas “empresas” (que con frecuencia se transmitían de una generación a otra), en el marco de las cuales les resultaba posible realizar amplios negocios, principalmente operaciones usurarias (sobre todo préstamos a altos intereses). Fuentes de la época neobabilónica nos han dado a conocer una serie de estas “casas bancarias” como, por ejemplo la de “Murashu e hijos” en Nippur y la de “Egibi e hijos” en Babilonia, entre otras. [Veo paralelismos con concesiones públicas de hospitales, carreteras, locales de fiesta, etc. Y por supuesto con los grandes bancos tipo Santander]

[Acerca del código de leyes de Urnammu tras llegar al poder] En el prólogo se presenta a Urnammu como rey “por la gracia divina” [esencialmente como todos los reyes hasta hoy día] que debe hacer pública con sus leyes la voluntad de los dioses. En este código había que utilizar las concepciones religiosas de la población con el fin de que los hombres lo considerasen inalterable [como nuestra Constitución]. Urnammu habla sobre el origen de su gobierno en Ur, subraya la supresión de diversos delitos [como en cualquier cambio de régimen], menciona la implantación de un sistema de pesos y medidas y proclama una “ordenación justa”, así como la máxima que ya nos es conocida: “el poderoso no debe cometer injusticia contra la viuda y el huérfano”. Las palabras finales del prólogo aluden a las diferencias de fortuna existentes entre los miembros de la clase dominante: “El hombre de un siclo no debe ser explotado por el hombre de una mina” (equivalente a 60 siclos). [Aquí veo el intento por establecer una defensa del débil, una llamada a la igualdad ante la ley aunque solo sea de palabra]